Le nombre $N$ de galaxies par unité de magnitude $m$ s’exprime selon :
$ f(m) = \frac{dN}{dm} = \int^\infty_0 \frac{dN}{dm dz}dz = \int^\infty_0 \frac{dV_c}{dz d\Omega}(z) \frac{dN}{dMdV_c}(z,M)dz $ (1)
où $dV_c/(dz d\Omega)$ est le volume comobile par unité de décalage vers le rouge $z$ et d’angle solide $\Omega$, et $\Phi(m,z) = dN/(dMdV_c)$ est la fonction de luminosité des galaxies.
À partir de l’expression de l’élément de volume comobile pour un univers plat dans l’approximation des petits décalages spectraux, et de la fonction de Schechter représentant la fonction de luminosité des galaxies, on obtient :
$f(m) = (0.4 \ln 10) \Phi^*\cdot \left(\frac{c}{R_o H_o}\right)^3$
$ \times \int^{+\infty}_0 z^2 \cdot e^{-0.4(\alpha+1)(M-M^*) \ln 10} \cdot e^{-e^{-0.4(M-M^*)\ln 10}}\ dz$ (2)
Nous cherchons la pente logarithmique des comptages de galaxie à petit redshift, soit la quantité :
$\frac{d\log N}{dm} = \frac{1}{\ln 10}\cdot \frac{1}{f} \cdot \frac{df}{dm}$ (3)
Posons :
$A = (0.4 \ln 10) \Phi^*\cdot \left(\frac{c}{R_o H_o}\right)^3$
$B = B(m) = (M-M^*)\cdot \ln 10 = \left(m-5\log\frac{c}{100} + 5 \log h - 25 -M^* \right)\cdot \ln 10 $ $D = D(m) = \exp(-0.4\cdot B(m))$
On obtient ainsi :
$f(m) = A\cdot D^{\alpha+1}\cdot \int^{+\infty}_0 dz\cdot z^{2(\alpha+2)} \exp(-D z^2) $ (4)
Dérivons cette expression par rapport à $m$ :
$\frac{df}{dm} = (0.4\ln 10) A \cdot D^{\alpha+1}\cdot \bigg[ -(\alpha+1)\int^{+\infty}_0 dz \cdot z^{2(\alpha+2)} \exp(-D z^2) $
$+ D\cdot \int^{+\infty}_0 dz \cdot z^{2(\alpha+3)} \exp(-D z^2) \bigg]$ (5)
En divisant (5) par (4), on obtient l’expression de (3) :
$\frac{d\log N}{dm} = 0.4\cdot \left[ -(\alpha + 1) + D \cdot \frac {\int^{+\infty}_0 dz \cdot z^{2(\alpha+3)} \exp(-D z^2)} {\int^{+\infty}_0 dz \cdot z^{2(\alpha+2)} \exp(-D z^2)} \right] $ (6)
En posant :
$I_n^D = \int^{+\infty}_0 dz \cdot z^{2(\alpha+n)} \exp(-D z^2)$ (7)
(6) devient :
$\frac{d\log N}{dm} = 0.4\cdot \left[ -(\alpha + 1) + D \cdot \frac{I_3^D}{I_2^D}\right] $ (8)
Or en faisant le changement de variable $z^2 \rightarrow x$, on obtient :
$I_n^D = \frac12 \cdot \int^{+\infty}_0 dx \cdot x^{\alpha+n-\frac12} \exp(-D x)$ (9)
intégrale tabulée sous la forme (Gradshteyn I. & Ryzhik I., Table of integrals, series, and products, Academic Press 1980) :
$\int^{+\infty}_0 dx \cdot x^{\nu -1} \exp(-\mu x) = \frac{1}{\mu^\nu}\cdot \Gamma(\nu) \qquad \textrm{Re}(\nu) > 0,\ \ \textrm{Re}(\mu) > 0$ (10)
Ainsi, (8) devient :
$ \frac{d\log N}{dm} = 0.4\cdot \left[ -(\alpha + 1) + D \cdot \frac{D^{\alpha+\frac12 + 2}}{D^{\alpha+\frac12 + 3}} \cdot \frac{\Gamma(\alpha +\frac12 + 3)}{\Gamma(\alpha+\frac12 + 2)} \right]$ (11)
Et comme $\Gamma(1+x) = x\cdot \Gamma(x)$, on obtient finalement :
$\frac{d\log N}{dm} = 0.6$
Ainsi la pente des comptages de galaxies à petit décalage vers le rouge est une constante mathématique !
