Les tribulations d’un astronome

Mesurer l’inclinaison d’une pente sur la carte

jeudi 29 novembre 2012 par Guillaume Blanc

Dans la pratique du ski de randonnée, il est crucial de savoir mesurer l’inclinaison d’une pente sur la carte, pour préparer une course. On accordera ainsi une grande importance aux pentes dont l’inclinaison est supérieure à 30°, sur lesquelles des avalanches sont susceptibles de se déclencher [1].

 Principe général

Pour effectuer un tel calcul, il suffit de mesurer la distance $d$ (en mm) entre deux courbes de niveau, et connaissant la différence d’altitude $h$ entre ces deux courbes, ainsi que l’échelle $e$ de la carte (par exemple $e = 1/25000$). La distance $D$, en mètres, sur le terrain, correspondant à $d$, est donnée par : $D = \frac{d}{e\times 10^3}$. L’angle $\theta$ de la pente est donc obtenue par la formule :

$\tan \theta = \frac{h}{D} = \frac{h\cdot e \cdot 10^3}{d}$

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Cet angle $\theta$ de l’inclinaison de la pente est représenté sur la figure ci-dessous en fonction de la distance mesurée en mm entre deux courbes espacées de 10 m sur une carte au 1/25000e.

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Sur les cartes françaises de l’IGN au 1/25000e, les courbes de niveau sont espacées de 10 m, ce qui représente des fractions de millimètre à mesurer pour des pentes supérieures à 22°. Pour plus de précision, on peut utiliser l’intervalle de 50 m entre deux courbes maîtresses, au tracé plus gras.

Voici quelques valeurs (en mm) à retenir pour ces cartes-là :

Angle (°)
équidistance 10 m
équidistance 50 m
25
0.9
4.5
30
0.7
3.5
35
0.6
2.9
40
0.5
2.4
45
0.4
2

On pourra coller ce petit tableau en guise d’aide-mémoire sur le couvercle de la boussole...

Notez par ailleurs, que sur les cartes des pays voisins, Suisse, Italie, Espagne, etc, l’échelle et l’équidistance des courbes de niveau varie. Il suffit d’adapter le tableau en conséquence.

 Une « recette » toute simple

On peut aussi utiliser la recette suivante [2] :

- mesurer la différence d’altitude correspondant à une distance horizontale de 100 m (soit 4 mm sur une carte au 1/25000e). Cette mesure correspond au pourcentage de la pente ;

- diviser le résultat obtenu par deux : on obtient alors l’angle d’inclinaison de la pente en degrés.

Dans ce cas, on a : $\tan \theta = \frac{x}{100}$ où $x$ est la différence d’altitude mesurée, en mètres ; c’est aussi le pourcentage de la pente.

Mathématiquement, la recette précédente se traduit par : $\theta = \frac{x}{2} = 0.5 \cdot x$.

Voici la représentation graphique de ces deux formules :

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On note que la « recette » s’écarte de la vraie valeur de la pente au maximum de 1.8° pour une pente de 20° (soit 36 %). L’approximation est inférieure à la valeur réelle d’au plus 2° pour des pentes d’inclinaison inférieures à 42°. Au-delà, l’approximation diverge assez rapidement (à 45°, donc pour une pente de 100 %, elle nous donne 50°), mais ce n’est pas très grave, en fait. Le principal étant d’être relativement précis autour de l’angle critique pour les avalanches, à savoir 30°.

On sous-estime ainsi légèrement (de 1.1°) l’angle de la pente autour de cet angle, mais on rentre là dans l’erreur typique de mesure d’une pente sur une carte, c’est donc tout à fait raisonnable.

Au passage, comme $\tan 35° = 0.7$, on est « exact » pour une pente de 35° !

Enfin, il faut noter que cette modeste « recette » est indépendante de l’échelle de la carte...

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[1Cet article est une refonte d’un article publié par ici en avril 2010.

[2Initialement, j’avais retenu du stage initiateur ski-alpinisme la recette un chouïa plus compliquée :

  • mesurer la différence d’altitude correspondant à une distance horizontale de 100 m (soit 4 mm sur une carte au 1/25000e). Cette mesure correspond au pourcentage de la pente ;
  • diviser le résultat obtenu par deux, et enlever 10 % : on obtient alors l’angle d’inclinaison de la pente en degrés.

Dans ce cas, on a $\theta = 0.45 \cdot x$.

Sauf que cette « recette-là » sous-estime la pente de 4° autour de 30°, qui est la valeur « critique » pour le skieur de randonnée pour être systématiquement à l’abri des avalanches, ou pas. C’est un peu beaucoup, 4°, et c’est un peu ennuyeux de sous-estimer : il vaudrait mieux sur-estimer la pente évaluée sur la carte par rapport au terrain... En revanche cette recette est exacte autour de 45° (pente de 100 %), mais est-ce bien nécessaire ?

Pour la peine la recette que je propose est plus simple (pas de 10% à retrancher), et beaucoup plus « précise » autour de 30°...


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