Les tribulations d’un astronome

Petit train magnétique

mardi 5 mai 2015 par Guillaume Blanc

Il y a quelques mois, un collègue m’envoyait une petite vidéo sur youtube :

Comme je sortais de trois mois d’enseignements d’électromagnétisme, cela m’a interpelé. Je me suis demandé si je pouvais arriver à faire un truc pareil moi aussi.

J’ai donc commandé un rouleau de 50 m de fil de cuivre de 0,8 mm de diamètre sur Amazon, ainsi que des petits aimants de néodyme de 10 mm de diamètre et d’un millimètre d’épaisseur. Le tout est reçu pendant les vacances de Noël.

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Je fabrique le tunnel en enroulant le fil sur un bout de bois cylindrique de 13 mm de diamètre. J’essaye avec une pile AAA de 1,5 V. Déconfiture : il ne se passe absolument rien. Mais une pile AAA a un diamètre de 10 mm, donc les aimants que je me suis procuré ayant le même diamètre, ils ne dépassent pas. Je subodore alors que le contact électrique entre les aimants et le fil de cuivre n’est pas bon.

Mais où trouver des aimants avec le diamètre adéquat ?

En furetant sur google, j’ai rapidement trouvé un site spécialisé dans la vente d’aimants, magnet-shop.com. Là j’achète une série de petits aimants de 12 mm de diamètre, de 4 mm d’épaisseur, des aimants au néodyme N40 nickelés.

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Ces aimants sont très puissants, il faut faire attention en les manipulant de ne pas se faire pincer. Ils sont par ailleurs assez fragiles : à force de s’entrechoquer en s’attirant mutuellement, ils finissent par se briser...

Je reprends mon petit tunnel en fil de cuivre, et après avoir mis deux aimants l’un sur l’autre de chaque côté de la pile, et dans le bon sens de surcroît, Ô miracle de la physique, ça fonctionne ! Ma pile encapuchonnée de ses aimants est proprement avalée par le tunnel !

Avalée, certes, mais pas avec la puissance que l’on peut voir dans la vidéo. Dans la foulée, j’ai voulu faire un tunnel plus long afin de le rabouter pour en faire un cercle, mais ma locomotive est trop freinée, elle a du mal a foncer toute seule. Je me disais alors que mon tunnel était trop étroit, les frottements trop intenses. J’ai voulu essayer de fabriquer un tunnel de diamètre plus grand, en utilisant un tube de métal que j’avais sous le coude ou un manche de balais, mais je n’y suis pas arrivé. Le fil de cuivre que j’avais n’arrivait pas à rester en place, les spires ainsi formées se détendaient au fur et à mesure tout en refusant de rester jointives, comme si ce plus grand diamètre (plus grand rayon de courbure) faisait passer ce matériau dans le régime élastique (retour à un état proche de l’état initial après déformation selon une hystérésis), alors que le plus petit diamètre permettait d’arriver directement dans le régime plastique (pliage). Mais les expériences en la matière sont difficilement reproductibles ; un bout de fil déjà utilisé ne se comporte pas de la même façon qu’un bout de fil « neuf. »

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J’ai trouvé un site en ligne qui vend des rouleaux de fil de cuivre de tout diamètre. Ce n’est pas donné, mais je vais, je crois, investir dans un rouleau de fil de diamètre plus important (1 mm typiquement), pour voir si je peux l’enrouler sur un tourillon de bois lisse de diamètre 20 mm...

Pour revenir à notre petit train magnétique, comment fonctionne-t-il exactement ?


Ajout du 17 février 2016 : l’interprétation ci-dessous est probablement erronée. Elle est en tout cas basée sur une hypothèse qui est fausse, celle que les aimants sur la pile forment une sorte de dipôle. En fait, le train fonctionne quand les deux aimants ont un pôle de même nature vers l’extérieur. Pour la peine le schéma ci-dessous est faux : les lignes de champs sont plus compliquées que cela...


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Schéma du principe
En bleu, la pile et ses aimants, en rouge, le tunnel solénoïdal, en vert les lignes du champ magnétique produit par les aimants positionnés dans le « bon » sens.

Les aimants en néodyme sont conducteurs de l’électricité, ils permettent donc de faire circuler un courant électrique I dans la portion de fil de cuivre qui se trouve entre les deux pôles de la pile, en contacts avec les aimants. Les aimants créent un champ magnétique autour de la pile de forme dipolaire. Ce champ $\overrightarrow{B}$ a une symétrie cylindrique, avec une composante radiale $B_r$ et une composante longitudinale $B_z$ :

$\overrightarrow{B} = B_z \overrightarrow{u_z} + B_r \overrightarrow{u_r}$

où $\overrightarrow{u_r}, \overrightarrow{u_{\theta}}, \overrightarrow{u_z}$ sont les vecteurs unitaires de la base des coordonnées cylindriques $(r, \theta, z)$.

Nous avons donc un conducteur (le fil de cuivre) parcouru par un courant (fourni par la pile) et plongé dans un champ magnétique (délivré par les aimants permanents) de par et d’autre de la pile). Dans ce contexte, le fil va être soumis à une force de Laplace :

$d\overrightarrow{F_L} = I \overrightarrow{dl} \wedge \overrightarrow{B}$

avec $\overrightarrow{dl}$, l’élément de longueur du circuit où circule le courant électrique I, orienté dans le sens de circulation du courant. Ici le courant est orthoradial, donc $\overrightarrow{dl} = dl \overrightarrow{u_{\theta}}$.

Ainsi, on obtient : $d\overrightarrow{F_L} = I \cdot dl \left[ \overrightarrow{u_{\theta}} \wedge (B_z \overrightarrow{u_z} + B_r \overrightarrow{u_r})\right]$

Soit : $d\overrightarrow{F_L} = I \cdot dl \left[ B_z \overrightarrow{u_r} - B_r \overrightarrow{u_z}\right]$

Il y a donc deux composantes de la force de Laplace, l’une radiale, qui plaque la pile contre le tunnel, l’autre longitudinale, qui va « tirer » la pile vers l’intérieur du tunnel.

Cette dernière composante s’écrit donc : $dF_L^z = I \cdot dl \cdot B_r$, ce qui donne, en intégrant sur N spires : $F_L^z = N \cdot \pi \cdot D \cdot I \cdot B_r$ où $D$ est le diamètre du tunnel.

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On peut faire une estimation de l’ordre de grandeur de cette force.

Avec mon multimètre basique j’ai mesuré un courant d’intensité environ 2 A ; avec un teslamètre de compétition emprunté aux salles de TP de l’université, j’ai mesuré une composante longitudinale du champ magnétique de 0,3 T au centre d’un seul aimant, et de 0,24 T sur le bord ; au centre, la composante radiale est faible (0,01 T) sur les bords elle est environ de 0,12 T.

Par ailleurs D vaut 13 mm et le nombre N de spires entre chaque bout de la pile est d’environ 20.

Donc :

$F_L^z = N \pi D I B_r = 20 \times 3,14 \times 0,013 \times 2 \times 0,1 = 160\ \text{mN}$. La pile pèse environ 12 g, son poids est donc de 120 mN, environ (et 25 g soit 250 mN avec deux aimants de chaque côté). On obtient donc une force longitudinale de l’ordre de grandeur du poids de la pile, donc largement susceptible de lui permettre de se déplacer.

D’ailleurs, on peut estimer expérimentalement l’ordre de grandeur de la force « magnétique. » En plaçant le tunnel de cuivre sur un plan incliné d’un angle $\theta$ par rapport à l’horizontale, on peut regarder jusqu’à quelle inclinaison la pile « remonte » dans le tunnel. On note l’angle correspondant, $\theta_{\text{max}}$.

Sur la vidéo suivante, on constate que la pile (relativement neuve) remonte très bien le tunnel pour des angles inférieurs à 30°. Et pour 40°, elle commence à sérieusement patiner. La chose n’est pas d’une grande précision, mais donne un ordre de grandeur. Ainsi, avec $\theta_{\text{max}} = 40^{\circ}$, la composante du poids parallèle à la pente est $P_{\parallel} = mg\sin \theta_{\text{max}}$, soit ici, avec une masse $m = 25\ \text{g}$ et l’accélération de la pesanteur, $g = 10\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}$, on obtient 0,16 N. L’ordre de grandeur est donc cohérent avec la valeur calculée plus haut...

Dans cette histoire, la pile étant (quasiment) en court-circuit, elle chauffe rapidement, et se décharge également très vite... Ce n’est probablement pas le moyen de déplacement le plus efficace et donc le plus économe en énergie !


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