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Volume de liquide dans le fond d’une cuve cylindrique horizontale

lundi 13 août 2012 par Guillaume Blanc

Séquence poésie... Je vous laisse apprécier la rime :

Chez mes parents, trône dans un coin une vieille cuve à mazout, qui servait il y a encore quelques années à alimenter la chaudière. Elle est désormais inutile, mais il reste dans le fond une petite quantité de fuel. Si on pouvait mesurer la hauteur du liquide, il a fallu trouver une formule pour en évaluer le volume, et ce en fonction uniquement de cette hauteur de liquide résiduel, du rayon intérieur de la cuve et de sa longueur .

**Schéma global de la cuve cylindrique avec son fond de liquide en vert**

On suppose que .

**Coupe transversale de la cuve, le mazout résiduel est représenté en vert**

Il suffit de calculer l’aire (en vert) entre un arc de cercle et sa corde pour avoir résolu une bonne partie du problème.

**Calcul de l’aire d’une part de camembert**

L’aire d’un coin de camembert de rayon et d’angle au sommet $\theta$ est donnée par :

$A_{\mathrm{camembert}} =\int_0^{R}\theta R dR = \frac{\theta R^2}{2}$

Ce à quoi il faut retrancher la surface du triangle AOB formé par la demi-corde et le centre du cercle, $A_{\mathrm{triangle}} = 1/2 R^2 \sin \theta \cos \theta$ , pour ensuite multiplier le tout par deux, pour avoir la surface cherchée entre l’arc de cercle d’angle $2 \theta$ et sa corde :

$A_{\mathrm{arc}} = 2(A_{\mathrm{camembert}} - A_{\mathrm{triangle}}) =\theta R^{2} - R^{2} \sin \theta \cos \theta$

Exprimons maintenant $\theta$ en fonction de et . Nous avons : $R-h = R \cos \theta$ soit $\theta = \arccos \left( 1 - \frac{h}{R}\right)$ , d’où :

$A_{\mathrm{arc}}(h) = R^{2} \arccos \left( 1 - \frac{h}{R}\right) - R^{2} \sin \left( \arccos \left( 1 - \frac{h}{R}\right) \right)\left( 1 - \frac{h}{R}\right)$

Or, comme : $\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - \cos^2(\arccos(x))} = \sqrt{1-x^2}$ , nous avons donc :

$A_{\mathrm{arc}}(h) = R^{2} \arccos \left( 1 - \frac{h}{R}\right) - R^{2} \left( 1 - \frac{h}{R}\right) \times \sqrt{1-\left( 1 - \frac{h}{R}\right)^2}$

$A_{\mathrm{arc}}(h) = R^{2} \arccos \left( 1 - \frac{h}{R}\right) - R^{2} \left( 1 - \frac{h}{R}\right) \times \sqrt{\frac{h}{R}\left(2 - \frac{h}{R}\right)}$

Le volume de liquide résiduel est ainsi $V = L\times A_{\mathrm{arc}}$ , soit :

$V(h) = LR^{2}\left[ \arccos \left( 1 - \frac{h}{R}\right) - \left( 1 - \frac{h}{R}\right) \times \sqrt{\frac{h}{R}\left(2 - \frac{h}{R}\right)} \right]$

Ce pour

Dans le cas contraire, pour , on peut adapter cette formule car : $V(h) = L[\pi R^2 - A_{\mathrm{arc}}(2R-h)]$ , soit :

$V(h) = LR^{2}\left[ \pi -\arccos \left(\frac{h}{R}-1\right) + \left(\frac{h}{R}-1\right) \times \sqrt{\frac{h}{R}\left(2 - \frac{h}{R}\right)} \right]$

pour

La figure suivante montre le tracé de ces deux formules :

Voilà. On s’amuse comme on peut, n’est-ce pas ? Au passage, pour faire les figures, j’ai découvert Inkscape, un fantastique logiciel libre de dessin vectoriel !

On peut aussi taper « horizontal cylinder water volume » sur WolframAlpha...

Guillaume Blanc

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Volume de liquide dans le fond d’une cuve cylindrique horizontale
12 février 2023, par bernard deprez

bonjour et merci pour cet article (déjà ancien). Malheureusement, j’essaie de l’utiliser (pour exactement la même finalité : une citerne) et pour vérifier, je me dis que si h = R (moitié de la cuve remplie) je devrais obtenir le volume de la moitié de la cuve ? ça ne semble pas être le cas en appliquant la formule... (dans un rapport 1/2.14917309). Je ne suis pas mathématicien... donc je suis bloqué là.

Bernard Deprez

repondre message
- Volume de liquide dans le fond d’une cuve cylindrique horizontale
  4 mars 2023, par Guillaume Blanc
  
  Si, si : si $h=R$ , $\text{arccos}(h/R-1) = \text{arccos}(0) = \pi/2$ , donc $V(R) = \pi LR^2/2$ .
  
  <\math>
  
  repondre message
Volume de liquide dans le fond d’une cuve cylindrique horizontale
4 janvier 2013, par Volume d’un cylindre

Article très complet !

http://www.calculateur.com/volume-d...

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