Les tribulations d’un (ex) astronome

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Volume de liquide dans le fond d’une cuve cylindrique horizontale

lundi 13 août 2012 par Guillaume Blanc

Séquence poésie... Je vous laisse apprécier la rime :

Chez mes parents, trône dans un coin une vieille cuve à mazout, qui servait il y a encore quelques années à alimenter la chaudière. Elle est désormais inutile, mais il reste dans le fond une petite quantité de fuel. Si on pouvait mesurer la hauteur du liquide, il a fallu trouver une formule pour en évaluer le volume, et ce en fonction uniquement de cette hauteur $h$ de liquide résiduel, du rayon $R$ intérieur de la cuve et de sa longueur $L$.

Schéma global de la cuve cylindrique avec son fond de liquide en vert

On suppose que $h < R$.

Coupe transversale de la cuve, le mazout résiduel est représenté en vert

Il suffit de calculer l’aire (en vert) entre un arc de cercle et sa corde pour avoir résolu une bonne partie du problème.

Calcul de l’aire d’une part de camembert

L’aire d’un coin de camembert de rayon $R$ et d’angle au sommet $\theta$ est donnée par :

$$ A_{\mathrm{camembert}} =\int_0^{R}\theta R dR = \frac{\theta R^2}{2} $$

Ce à quoi il faut retrancher la surface du triangle AOB formé par la demi-corde et le centre du cercle, $A_{\mathrm{triangle}}1/2 R^2 \sin \theta \cos \theta$, pour ensuite multiplier le tout par deux, pour avoir la surface cherchée entre l’arc de cercle d’angle $2 \theta$ et sa corde :

$$A_{\mathrm{arc}} = 2(A_{\mathrm{camembert}} - A_{\mathrm{triangle}}) =\theta R^{2} - R^{2} \sin \theta \cos \theta$$

Exprimons maintenant $\theta$ en fonction de $R$ et $h$. Nous avons : $R-h = R \cos \theta$ soit $\theta = \arccos \left( 1 - \frac{h}{R}\right)$, d’où :

$$ A_{\mathrm{arc}}(h) = R^{2} \arccos \left( 1 - \frac{h}{R}\right) - R^{2} \sin \left( \arccos \left( 1 - \frac{h}{R}\right) \right)\left( 1 - \frac{h}{R}\right) $$

Or, comme : $\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - \cos^2(\arccos(x))} = \sqrt{1-x^2}$, nous avons donc :

$$ A_{\mathrm{arc}}(h) = R^{2} \arccos \left( 1 - \frac{h}{R}\right) - R^{2} \left( 1 - \frac{h}{R}\right) \times \sqrt{1-\left( 1 - \frac{h}{R}\right)^2} $$

$$ A_{\mathrm{arc}}(h) = R^{2} \arccos \left( 1 - \frac{h}{R}\right) - R^{2} \left( 1 - \frac{h}{R}\right) \times \sqrt{\frac{h}{R}\left(2 - \frac{h}{R}\right)} $$

Le volume de liquide résiduel est ainsi $V = L\times A_{\mathrm{arc}}$, soit :

$$ V(h) = LR^{2}\left[ \arccos \left( 1 - \frac{h}{R}\right) - \left( 1 - \frac{h}{R}\right) \times \sqrt{\frac{h}{R}\left(2 - \frac{h}{R}\right)} \right] $$

Ce pour $h < R$.

Dans le cas contraire, pour $h>R$, on peut adapter cette formule car : $V(h) = L[\pi R^2 - A_{\mathrm{arc}}(2R-h)]$, soit :

$$ V(h) = LR^{2}\left[ \pi -\arccos \left(\frac{h}{R}-1\right) + \left(\frac{h}{R}-1\right) \times \sqrt{\frac{h}{R}\left(2 - \frac{h}{R}\right)} \right] $$

pour $h>R$.

La figure suivante montre le tracé de ces deux formules :

Représentation graphique de V(h)

Voilà. On s’amuse comme on peut, n’est-ce pas ? Au passage, pour faire les figures, j’ai découvert Inkscape, un fantastique logiciel libre de dessin vectoriel !


On peut aussi taper « horizontal cylinder water volume » sur WolframAlpha...


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