Calcul du coût d’un prêt avec amortissement

Une voiture à acheter, un petit tour par la banque. Moi, naïvement, je me dis que comme le taux d’intérêt affiché est de 6% et que j’ai besoin de 7000 €, je vais devoir rembourser en fait 7000 + 0,06 $\times$ 7000 = 7420 €. Et le banquier de me dire qu’en fait ça va me coûter substantiellement plus cher. Banquier qui, au passage, n’est pas capable de dire pourquoi, ni comment les intérêts sont calculés.

J’avoue que j’ai eu du mal à y comprendre quelque chose. Les histoires d’argent, j’ai toujours du mal. C’est de famille. Ça doit être pour ça que...

Bref.

La problématique est la suivante : je veux emprunter une somme $S$ que je rembourse en $N$ mensualités constantes de valeur $m$, avec un taux d’intérêt annuel de $i$ (ou mensuel $i_m$ tel que $(1+i_m)^{12} = 1+i$, soit environ $i_m = i/12$).

À l’instant $t_0=0$, je récupère ma somme pour payer ma voiture, et je commence à rembourser le capital au bout d’un mois.

À l’instant $t_1 = t_0 + 1$ mois, la valeur $C_1$ du capital emprunté ou restant est devenu $C_1 = S \times (1+i_m) - m$, à savoir la somme de départ (empruntée) multipliée par le taux d’intérêt sur un mois, moins la première mensualité.

À l’instant $t_2 = t_1 + 1$ mois $=t_0+2$ mois, la valeur $C_2$ du capital restant est : $C_2 = C_1 \times (1+i_m) - m$, à savoir la somme obtenue au bout d’un mois, multipliée par le taux mensuel, moins la deuxième mensualité, soit : $C_2 = [S \times (1+i_m) - m] \times i_m - m = S \times (1+i_m)^2 - m \times (1+i_m) - m$.

À l’instant $t_n = t_{n-1} + 1$ mois $= t_0 + n$ mois, la valeur $C_n = C_{n-1} \times (1+i_m) - m$, ce qui donne la formule :

$C_n = S \times (1+i_m)^n - m \times \sum_{k=0}^{k=n-1} (1+i_m)^k$

Le dernier terme est la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique de raison $(1+i_m)$.

Soit $V_n = \sum_{k=0}^{k=n-1} (1+i_m)^k$. Pour calculer $V_n$, faisons $V_n - (1+i_m)\cdot V_n$ :

$V_n - (1+i_m)\cdot V_n = [1 + (1+i_m) + \ldots + (1+i_m)^{n-2} + (1+i_m)^{n-1}] - [(1+i_m) + (1+i_m)^2 + \ldots + (1+i_m)^{n-1} + (1+i_m)^n]$

soit: $V_n - (1+ i_m)\cdot V_n = 1- (1+i_m)^n$, d’où $V_n = \frac{1-(1+i_m)^n}{-i_m}$.

Donc :

$C_n = S \times (1+i_m)^n + m \times \frac{1-(1+i_m)^n}{i_m}$.

Or, la fin de la période des $N$ mois, le capital restant $C_N$ doit être nul ce qui donne l’équation :

$S \times (1+i_m)^N + m \times \frac{1-(1+i_m)^N}{i_m} = 0$. D’où on peut sortir la mensualité $m$ :

$m = \frac{S \times (1+i_m)^N \times i_m}{(1+i_m)^N-1}$

soit :

$m = \frac{S \cdot i_m}{1-\frac{1}{(1+i_m)^N}} = \frac{S \cdot i_m}{1-(1+i_m)^{-N}}$

De là, on obtient le coût total du prêt, à savoir $T = m \times N$, et la somme totale des intérêts versés au final à la banque : $I = T-S = mN - S$.

Dans l’exemple de ma voiture, avec $S$ = 7000 €, $N$ = 48 mois, $i$ = 0,06 soit $i_m$ = 0,005, j’obtiens une mensualité de $m$ = 164,40 €. Le coût total est donc de 7890,97 €. La banque récupèrera donc 890,97 €, soit quasiment 13 % du capital prêté...

Si je veux diminuer le nombre de mensualités, par exemple 24 mois, celles-ci seront de 310,24 €, et le coût du prêt sera de 7445,86. Et sur 12 mois, la mensualité est de 602,47 €, le total étant de 7229,58 € (au passage ça revient substantiellement moins cher que le brut calcul du début). Asymptotiquement, si je prends un prêt sur un mois, il ne me coûte « que » 35 €.

En fait, c’est avec ce site que j’ai compris comment ça marche. J’ai seulement réécris les choses à ma sauce.

Je trouve quand même que le fonctionnement d’une étoile est plus intuitif que celui d’une machine à gaz pareille !