Annexe : fonction exponentielle

Ces annexes présentent les fonctions mathématiques exponentielles et logistiques, utiles pour décrire l’évolution de populations.

1La fonction exponentielle¶

La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée et sa valeur en 0 vaut 1 (Figure 1).

2Croissance exponentielle¶

Supposons qu’une population $N(t)$ de quelque chose (des animaux, des noyaux radioactifs, des virus, etc.), à un instant $t$, croisse dans le temps (pendant un intervalle de temps $\Delta t$) avec un taux constant $\alpha$. Alors la population à l’instant $t+\Delta t$ est donnée par la population initiale, $N(t)$, à laquelle s’ajoute la quantité de $N$ qui a augmenté de $\alpha$ pendant $\Delta t$ :

L’unité de $\alpha$ est l’inverse d’un temps ; $\alpha$ peut être positif (croissance) ou négatif (décroissance).

Cela donne :

Si on fait tendre $\Delta t$ vers 0, cela donne :

d’après la définition de la dérivée de la fonction $N(t)$ :

L’équation (3) est une équation différentielle du première ordre à coefficients constants, sans second membre.

Elle est caractéristique d’une variation exponentielle : le taux de variation instantanée de la quantité $N$, soit $dN/dt$ (ie la dérivée) est proportionnelle à la quantité $N$ elle-même.

Pour résoudre cette équation, on peut séparer les variables, en la réarrangeant :

soit :

En intégrant, on obtient la solution de cette équation :

avec $N_0 = N(0)$.

On peut réécrire (7) selon :

où $\mu$ est la croissance, tandis que $\alpha = \ln \mu$ est le taux de croissance.

Ce taux de croissance s’écrit :

Si le temps $t$ s’exprime en années, le taux de croissance exponentiel $\alpha$ est le taux de croissance « par an ». On l’exprime souvent en pourcentage par an.

3Radioactivité¶

Certains noyaux atomiques ont la propriété de se désintégrer spontanément pour se transformer en un autre noyau atomique, c’est la radioactivité. On définit la période radioactive $T$ comme étant l’intervalle de temps pendant lequel une population de $N$ noyaux radioactifs diminue de moitié. Ainsi, à $t=0$, on a $N(0) = N$ noyaux, une période plus tard, c’est-à-dire à $t=T$, il en reste $N(T) = N/2$ qui ne se sont pas désintégrés. En reportant cela dans l’équation (7) :

on obtient :

où $\lambda$ est la constante radioactive (elle s’exprime en s$^{-1}$).

La figure 2 montre la décroissance radioactive d’une population de noyaux de carbone 14, un des isotopes du carbone, radioactif, dont la période est de 5600 ans.

4La population mondiale¶

Le taux de croissance annuel de la population mondiale est actuellement de 1,018 % (en 2020). Cela signifie qu’à l’instant $t=0$, on a $N$ personnes ; à l’instant
$t = 1$ an, on en a :

Ainsi, $\alpha = 0,01018\cdot \text{an}^{-1}$ et la croissance vaut : $\mu = e^\alpha = e^0,01018 \simeq 1,01018$ (car $e^\epsilon \simeq 1 + \epsilon$ quand $\epsilon$ est petit — développement limité de la fonction exponentielle).

Cette croissance exponentielle de la population est illustrée sur la figure 3..

5Le covid¶

Avec la souche sauvage du SARS-CoV2, en mars 2020, on observait que le nombre de morts doublait tous les 7 jours.

Donc, à $t=0$, on a $N$ morts ; à $t=7$ jours, on a $2\times N$ morts :

soit :

d’où le taux de croissance :

et une croissance de :

La figure 5 montre les différentes vagues de décès dus au covid depuis mars 2020. Le début de chacune des vagues est à peu près exponentiel.

6Croissance logistique¶

Dans le monde réel une croissance exponentielle ne peut pas durer éternellement, sinon la population concernée devient infinie, ce qui est physiquement impossible, le monde étant de taille ou de capacité finie. Ainsi, le taux de croissance de la population mondiale commence à stagner (Figure 4), et chaque vague de covid a fini par se stabiliser et décroitre (Figure 5).

Plutôt qu’un modèle exponentiel, on peut utiliser un modèle de Verhulst qui utilise une fonction logistique. Pierre François Verhulst imagina ce modèle dans les années 1840 en réponse au modèle de Malthus qui proposait une croissance exponentielle de la population. Verhulst propose ainsi de tenir compte d’un taux de mortalité (nombre de décès annuel sur la population totale) et d’un taux de natalité (nombre de naissances annuel sur la population totale) : selon ses hypothèses, le taux de natalité $n(N,t)$ décroit linéairement avec la population $N(t)$, tandis que le taux de mortalité $m(N,t)$ croit linéairement avec la population. Alors :

avec :

avec $a_n < 0$ car, par hypothèse, le taux de natalité décroit avec la population et $b_n > 0$ car le taux de natalité ne peux pas être négatif. Et :

avec $a_m > 0$ car, par hypothèse, le taux de mortalité croit avec la population et $b_m > 0$ car le taux de mortalité ne peux pas être négatif. Les grandeurs $a_{n,m}$ et $b_{n,m}$ sont des constantes. Alors on a :

où $a = -(a_n-a_m) >0$ et $b = b_n-b_m > 0$ pour que la population puisse croitre quand $N$ est petit[^tauxacc].

En posant $K= b/a$ ($K>0$), on obtient :

La fonction $N(t)=K\qquad \forall t$ est solution de cette équation ; si $N(t)<K$, la population $N$ croit, et si $N(t)>K$, la population décroit. Le paramètre $K$ est la capacité de charge, c’est-à-dire la taille maximale de la population qu’un milieu donné peut supporter.

Il s’agit évidemment d’un modèle simpliste : les dynamiques des populations sont plus complexes que cela.

La résolution de l’équation (21) conduit à la solution logistique :

La Figure 6 montre une représentation graphique de cette fonction et de sa dérivée, avec la croissance exponentielle et la saturation due au paramètre $K$.